Menentukan Titik Terdekat pada Kurva dengan Titik Asal

A. Metode Implisit

Sebuah kurva yang memiliki persamaan misalkan  y = 1 - x² dapat ditentukan berapa jarak/ titik terdekatnya dengan titik pusat (0,0), melalui metode Implisit. Langkah/Cara menentukannya dapat anda perhatikan pada step-step berikut ini :

Step 1 :

Jarak antara titik pusat dan titik terdekat pada kurva dapat menggunakan persamaan f(x,y) = d²= x² + y²

Step 2 :

    = 2x dx + 2y dy

df/dx = 2

Step 3 :

y       = 1 - x²
dy/dx = -2x

sehingga,

df/dx = 2x + 2y(-2x)
        = 2x - 4yx

Step 4 :

df/dx = 0 = 2x - 4yx

Pada persmaan y = 1 - x² , sehingga

 

      2x - 4x(1 - x²) = 0

      2x - 4x + 4x³ = 0

     -2x + 4x³ = 0      

     -x + 2x³ = 0                

      x(-1 + 2x²) = 0

Didapat x = 0 dan x = ± (1/2)^1/2

Step 5 :

Menentukan Jarak minimum dan Maksimum :

d² f/x² =2 - 4y - 4x dy/dx

* Saat x = 0, maka y = 1 dan dy/dx = 0

Yang merupakan hasil dari y = 1 -x² ; dimana x nya sama dengan 0

     

d² f/x² =  2 - 4y - 4x dy/dx

              2 - 4(1) - 4(0) = -2

Hasil tersebut menunjukan jarak maksimum karena d² f/x² < 0

* Saat x = ± (1/2)^1/2, maka y = 1/2 dan dy/dx = ± (2)^1/2

Yang merupakan hasil dari y = 1 -x² ; dimana x nya sama dengan 0

d² f/x² =  2 - 4y - 4x dy/dx

          =  2 - 4(1/2) - 4(± 1/2^1/2)(± 2^1/2 ) = 4

Hasil tersebut menunjukan jarak minimum karena d² f/x² > 0

Kesimpulan :

Jadi Jarak terdekat anatar titik pusat dengan garis kurva pada persamaan tersebut adalah pada titik  x = ± (1/2)^1/2  dan y = 1/2

Tweet